Evdeki Düz Alan ve Dağınıklık İlişkisi (İkinci taslak)

Bu yazı, evlerdeki düz alanın (A) büyüklüğünün ve eğiminin (E), bir evin dağınıklık (D) seviyesi üzerindeki etkisini inceleyen bir matematiksel modeli tanıtmaktadır. Model, düz alanın büyüklüğü, eğimin derecesi ve evde yaşayan kişi sayısı gibi faktörleri dikkate alarak, bir evin ne kadar dağınık olabileceğini tahmin etmeyi amaçlamaktadır.

1. Giriş

Evlerdeki düzen ve dağınıklık, estetik ve işlevsellik açısından önemlidir. Bu çalışma, evlerdeki düz alanların ve eğimin, dağınıklık seviyeleri üzerindeki etkisini kapsamlı bir şekilde araştırmakta ve bunu yaparken de evine yeni bir masa almak isteyen kişilerin dikkat etmesi gereken noktaları keşfetmesine yardım etmeyi amaçlamaktadır.

2. Model Tanımı

Model, aşağıdaki ana bileşenleri içerir:

• Düz Alan (A): Evdeki kullanılabilir düz alan.
• Eğim (E): Evdeki alanların eğim derecesi.
• Dağınıklık (D): Tahmini dağınıklık seviyesi.
• Yüksek (H): Yüzey yüksekliği faktörü.

Matematiksel ifade

Bu denklemde:

• D dağınıklık seviyesini,
• A evdeki kullanılabilir düz alanı,
• E evdeki düz alanların eğim derecesini,
• X evde yaşayan kişi sayısını,
• h(H) evdeki kullanılabilir yüzeylerin yerden yüksekliğinin fonksiyonunu,
• α, β, k ise modelin çeşitli yönlerini ölçeklendiren sabitleri temsil eder.

2.1 Denklemin Bileşenleri ve Etkileri

Düz Alan (A) ve Dağınıklık (D)

Düz alanın (A) büyüklüğü, dağınıklık üzerinde önemli bir etkiye sahiptir. A^α terimi, bu ilişkiyi modeller. Burada α sabiti, alanın dağınıklık üzerindeki etkisini belirler. Düz alan arttıkça, dağınıklığın da artması beklenir.

Eğim (E) ve Dağınıklık

Eğimin (E) hem pozitif hem de negatif değerleri, dağınıklığın azalmasına yol açar. Verilen 1− β ∣E∣ ifadesi, eğimin dağınıklık üzerindeki etkisini yansıtır. Eğim arttıkça (pozitif ya da negatif yönde), dağınıklık azalır. Düz alanlarda eğim yoksa (yani E=0), dağınıklık maksimum seviyede olur.

Diğer Faktörler (X)

X, evde yaşayan kişi sayısını temsil eder ve dağınıklık üzerinde doğrudan bir etkiye sahiptir. Daha fazla kişinin yaşadığı bir evde, genellikle daha yüksek bir dağınıklık seviyesi beklenir.

Yükseklik faktörü (h(H))

Yükseklik fonksiyonu h(H), belirli bir minimum ve maksimum sınır arasında değişebilir. Bu sınırlar, insan boyuna ve pratik kullanıma bağlı olarak ayarlanabilir.

Örneğin, çok düşük yüksekliklerde h(H) azalır, çünkü bu alanlar genellikle kullanılmaz veya yerle denk sayılır. Belirli bir optimum yükseklikte h(H) maksimum değere ulaşır. Çok yüksek yüksekliklerde ise h(H) yine azalır, çünkü bu alanlar genellikle dağınıklık için kullanılmaz veya erişilmesi zordur.

Bu formülde:

• H yüzeyin yerden yüksekliğidir.
• H opt​ en uygun yükseklik değeridir (dağınıklık için en uygun yükseklik).
• γ bu fonksiyonun genişliğini ve şeklini belirleyen bir sabittir.

Bu fonksiyon, H değeri H opt​’e yakın olduğunda maksimum değere ulaşır (yani dağınıklık için en uygun yükseklikte). H değeri H opt​’den uzaklaştıkça (çok düşük veya çok yüksek olduğunda), fonksiyonun değeri azalır, bu da dağınıklık kapasitesinin azaldığını gösterir.

4. Genişletilmiş Dağınıklık Modeli

Modeli genişletmek için, evin her bir bölümü için aşağıdaki denklemi uygularız ve sonra tüm bölümlerin dağınıklık seviyelerinin toplamını alırız:

Örnek Uygulama

Diyelim ki üç farklı bölümümüz var ve her biri için yükseklik de hesaba katılacak:

1. Bölüm 1 (Mutfak): Düz Alan (A): 20 m², Eğim (E): 0.1, Yükseklik (H): 0.9 m (Tezgah yüksekliği)
2. Bölüm 2 (Oturma Odası): Düz Alan (A): 30 m², Eğim (E): 0 (Düz), Yükseklik (H): 0.4 m (Kahve masası yüksekliği)
3. Bölüm 3 (Yatak Odası): Düz Alan (A): 15 m², Eğim (E): 0.2, Yükseklik (H): 1.5 m (Dolap yüksekliği)

Model parametrelerini şu şekilde varsayalım: α = 1, β = 2, γ = 1, H_opt ​ =1 m, k = 1. Benzer şekilde evde toplamda 3 kişinin yaşadığı senaryoyu düşünelim.

Her bir bölüm için dağınıklık seviyesini hesaplayıp toplamını alırız:

Sabit parametrelerin seçimleri

Modelde α=1, β=2, ve k=1 gibi parametre değerlerini seçerken, bu değerler genellikle başlangıç noktası olarak varsayımsal veya örnek değerlerdir. Gerçekçi bir model oluşturmak için bu parametrelerin değerleri, gerçek dünya verilerine dayanarak ayarlanmalıdır. İşte bu parametrelerin seçiminde dikkate alınması gereken bazı hususlar:

1. α (Düz Alanın Etkisi): α değeri, düz alanın dağınıklık üzerindeki etkisini belirtir. α=1 basit bir başlangıç noktasıdır ve doğrusal bir ilişkiyi ifade eder: düz alan iki katına çıktığında, dağınıklık da iki katına çıkar. Gerçek dünyada, bu değer farklı olabilir ve alanın dağınıklık üzerindeki etkisinin şiddetine bağlıdır.
2. β (Eğimin Etkisi): β değeri, eğimin dağınıklık üzerindeki etkisini belirtir. β=2 örnek bir değerdir ve eğimin dağınıklık üzerinde önemli bir etkisi olduğunu varsayar. Gerçekte, bu değer, farklı eğimlerin dağınıklık üzerindeki etkisinin derecesine göre ayarlanmalıdır.
3. k (Genel Orantı Sabiti): k genel bir ölçeklendirme faktörüdür ve modelin genel düzeyini ayarlar. k=1 basit bir varsayım olup, modeldeki diğer faktörlerin doğrudan etkilerini yansıtır. Gerçek uygulamalarda, bu sabit farklı olabilir ve modelin genel ölçeğini ayarlamak için kullanılır.

Bu parametrelerin belirlenmesi, genellikle gözlemlere, deneylere veya mevcut verilere dayanarak yapılır. Modeli gerçek dünya koşullarına uydurmak için, bu parametrelerin verilere dayalı olarak ayarlanması ve kalibre edilmesi önemlidir.

Sonraki adımlar

Bu yazıda ele alınmayan ancak gelecekteki çalışmalarda incelenecek bir konu, D değerinin zaman içindeki değişiminin modellenmesidir. Bu bağlamda, insanların alışveriş alışkanlıklarının evdeki boş alan ile olan ilişkisinin incelenmesi önemlidir. Bu konunun derinlemesine araştırılması ve buna yönelik bir modelin geliştirilmesi gerekmektedir.